ZFC 集合論
Zermelo-Fraenkel-choice set theory
集合論とはなにか? 自然數の全體$ \Nを調べる理論を自然數論といふのと同じやうに，集合論とはすべての集合のなす宇宙$ Vの構造を調べる理論である．この宇宙$ Vは代數や微積分などあらゆる數學の展開に充分なほど廣大であることが知られてゐる．本ノートは現代數學の標準言語でもある公理的集合論 ZFC を紹介する．ZFC 公理系は第 2 節で說明するが，ZFC をはじめて讀む人のために役立つことを願って，ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである． 公理
外延性の公理 (axiom of extensionality) 二つの集合が等しい事$ A=Bを次で定義する。$ \forall A\forall B(\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B) 次を滿たす空集合$ \varnothingが存在する。$ \exist\varnothing\forall x(x\notin\varnothing) $ x,yに就いて次を滿たす對$ \lbrace x,y\rbraceが存在する。$ \forall x\forall y\exist\lbrace x,y\rbrace\forall t(t\in\lbrace x,y\rbrace\iff(t=x\lor t=y))
集合$ Xに就いて次を滿たす和集合$ \bigcup Xが存在する。$ \forall X\exist\bigcup X\forall t(t\in\bigcup X\iff\exist x_{\in X}(t\in x)) $ \bigcup Xとは$ \bigcup_{x\in X}xの事
$ \bigcup\lbrace x,y\rbraceを$ x\cup yと書く
次を滿たす無限集合$ Aが存在する。$ \exist A(\varnothing\in A\land\forall x_{\in A}(x\cup\lbrace x\rbrace\in A)) 冪集合公理 (axiom of power set) 集合$ Xに就いて次を滿たす冪集合$ 2^Xが存在する。$ \forall X\exist 2^X\forall t(t\in 2^X\iff t\subseteq X) 置換公理圖式 (axiom schema of replacement) 論理式$ \psiに就いての公理圖式。$ \forall x\forall y\forall z((\psi(x,y)\land\psi(x,z))\implies y=z)\implies\forall X\exist A\forall y(y\in A\iff\exist x_{\in X}\psi(x,y)).
代替
分出公理圖式 (axiom schema of specification。axiom schema of separation。axiom of class construction。axiom schema of restricted comprehension) 論理式$ \psiに就いての公理圖式。$ Xと$ \lbrace x|x\in X,\psi(x)\rbraceを自由變數としない論理式$ \psiに就いて次を滿たす集合$ \lbrace x_{\in X}|\psi(x)\rbraceが存在する。$ \forall X\exist\lbrace x|x\in X,\psi(x)\rbrace\forall x(x\in\lbrace x|x\in X,\psi(x)\rbrace\iff(x\in X\land\psi(x)))
適用例
$ \lbrace x|x\in X,x\in Y\rbraceを共通部分$ X\cap Yと書く
$ \lbrace x|x\in X,x\ne x\rbraceは空集合$ \varnothingである 集まりの公理圖式 (axiom schema of collection。境界性の公理圖式 (axiom schema of boundedness)) $ \ne包括原理 (comprehension principle。無制限の內包 (unrestricted complehension))
$ \exist\lbrace x|\psi(x)\rbrace\forall x(x\in\lbrace x|\psi(x)\rbrace\iff\varphi(x))
基礎の公理 (FA) (axiom of foundation。正則性公理 (axiom of regularity)) $ \forall A(A\neq\varnothing\implies\exist x_{\in A}\forall t_{\in A}(t\notin x)).
$ \forall X((\varnothing\notin X\land\forall x_{\in X}\forall y_{\in X}(x\neq y\to x\cap y=\varnothing))\implies\exist A\forall x_{\in X}\exist t(x\cap A=\{t\}))
$ \forall X((X\ne\varnothing\land\forall x_{\in X}(x\ne\varnothing))\implies\exist f_{\subset X\times\bigcup X}\forall x_{\in X}(f(x)\in x))
空集合でない$ xの空でない族$ X=\{\dots,x,\dots\}に對して、選擇函數$ f:X\to\bigcup_{x\in X} x,$ f(x)\in xが存在する 選擇函數 (choice function)
鎖$ {\rm chain}(v,u)iff.$ v\subset u\land\forall x,y_{\in u}(x\subset y\lor y\subset x)
最大$ \max(z,u)iff.$ z\in u\land\forall x((x\in u\land z\subset x)\implies z=x)
$ \forall v({\rm chain}(v,u)\implies \bigcup v\in u)\implies\exist z~\max(z,u)
代替
空集合でない$ xの空でない可算な族$ X=\{\dots,x,\dots\},$ |X|=\alef_0に對して、選擇函數$ f:X\to\bigcup_{x\in X} x,$ f(x)\in xが存在する 族の濃度を大きくすると強い公理になる
從屬選擇公理 (DC)
空集合でない$ Xに、$ X上の左全域的 (left-total)な二項關係$ R\subseteq X\times X,$ \forall x_{\in X}\exist y_{\in X}~xRyが在るとする。この時に任意の$ n\in\Nに對して$ x_n R x_{n+1}となる可算な列$ x_0,\dots,x_n,\dots,$ n\in\Nをとれる 列の長さを延ばすと強い公理になる
$ ({\sf ZF}+{\sf AC})\vdash({\sf ZF}+{\sf DC})\vdash({\sf ZF}+{\sf AC}_\omega)
$ Vを集合全體の類 (class)として、$ \exist f_{:V\to V}\forall u_{\in V}(u=\varnothing\lor f(u)\in u) $ ({\sf ZF}+{\sf AC}+{\sf AD})\vdash\bot